Eine boolesche Algebra ist eine Menge S mit zwei darauf definierten zweistelligen Verknüpfungen ∧ (Konjunktion und, Durchschnitt ) und ∨ (Disjunktion oder, Vereinigung ) sowie einer einstelligen Verknüpfung ¬ (Negation nicht, Komplement), für die gilt:

(S, ∧, ∨) ist ein Verband, d.h.

• ∧ und ∨ sind assoziativ und kommutativ
• Absorptionsgesetze: x ∧ (x ∨ y) = x, x ∨ (x ∧ y) = x

und zusätzlich:

• Nach unten beschränkt: Es gibt ein Element 0 (Nullelement), so dass a ∨ 0 = a für alle a
• Nach oben beschränkt: Es gibt ein Element 1 (Einselement), so dass a ∧ 1 = a für alle a
• ∧ ist distributiv über ∨: x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)
• Existenz der Komplemente: x ∧ ¬x = 0, x ∨ ¬x = 1

Aus diesen Bedingungen folgt

• 0 ist das neutrale Element von ∨, es ist eindeutig bestimmt
• 1 ist das neutrale Element von ∧, es ist eindeutig bestimmt
• Booleschen Kongruenzen (Idempotenzgesetze): x ∧ x = x, x ∨ x = x
• ∨ ist auch distributiv über ∧: x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)
• x ∧ 0 = 0, x ∨ 1 = 1
• ¬(¬x) = x
• ¬1 = 0, ¬0 = 1
• De Morgansche Regeln: ¬(x ∧ y) = ¬x ∨ ¬y, ¬(x ∨ y) = ¬x ∧ ¬y

Jede Aussage innerhalb einer booleschen Algebra hat eine duale Aussage, die durch Ersetzung von 0 durch 1 und ∧ durch ∨ und umgekehrt entsteht. Ist die eine Aussage gültig, dann auch ihre duale Aussage (z.B. das zweite Distributivgesetz).

Eine boolesche Algebra ist also ein distributiver komplementärer Verband.

Man beachte, dass die Komplemente nichts mit inversen Elementen zu tun haben, denn die Verknüpfung eines Elementes mit seinem Komplement liefert das neutrale Element der anderen Verknüpfung.

Wie in dem Artikel Verband erläutert, kann man auf S eine partielle Ordnung definieren, bei der je zwei Elemente ein Supremum und ein Infimum haben.

Die wichtigste boolesche Algebra hat ca. die zwei Elemente 0 und 1. Die Verknüpfungen sind wie folgt definiert:

Diese Algebra hat Anwendungen in der Logik, wo 0 als "falsch" und 1 als "wahr" interpretiert werden. Die Verknüpfungen ∧, ∨, ¬ entsprechen den logischen Verknüpfungen UND, ODER, NICHT. Ausdrücke in dieser Algebra heißen boolesche Ausdrücke.

Auch für elektrische Schaltungen wird diese Algebra benutzt. Hier entsprechen 0 und 1 zwei Spannungszuständen. Das Eingangs-Ausgangs-Verhalten jeder möglichen elektrischen Schaltung kann durch einen booleschen Ausdruck modelliert werden.

Die zweielementige boolesche Algebra ist auch wichtig für die Theorie allgemeiner boolescher Algebren, da jede Gleichung, in der ca. Variablen, 0 und 1 durch ∧, ∨ und ¬ verknüpft sind, exakt dann in einer beliebigen booleschen Algebra für jede Variablenbelegung erfüllt ist, wenn sie in der zweielementigen Algebra für jede Variablenbelegung erfüllt ist (was man einfach durchtesten kann). Zu dem Beispiel gelten die folgenden beiden Aussagen (engl. Name: Consensus Theorems) in jeder booleschen Algebra:

(a ∨ b) ∧ (¬a ∨ c) ∧ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∧ (¬a ∨ c)

(a ∧ b) ∨ (¬a ∧ c) ∨ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∨ (¬a ∧ c)

Die Potenzmenge P(S) einer Menge S wird mit Durchschnitt und Vereinigung zu einer booleschen Algebra. Dabei ist 0 die leere Menge und 1 ist S selbst. Dieser Verband heißt Teilmengenverband oder Mengenalgebra von S. Alle Teilverbände eines Teilmengenverbandes sind distributiv.

Die Menge aller endlichen oder koendlichen Teilmengen von N₀ bildet mit Durchschnitt und Vereinigung eine boolesche Algebra.

Für jede natürliche Zahl n ist die Menge aller positiven Teiler von n mit den Verknüpfungen ggT und kgV ein distributiber beschränkter Verband. Dabei ist 1 das Nullelement und n das Einselement. Der Verband ist boolesch exakt dann, wenn n quadratfrei ist. Dieser Verband heißt Teilerverband von n.

Für jeden topologischen Raum X ist die Menge aller offenen abgeschlossenen Teilmengen eine boolesche Algebra mit Durchschnitt und Vereinigung.

Ist R ein Ring, dann definieren wir die Menge

A = { e in R : e² = e und ex = xe für alle x in R }

aller idempotenten Elemente des Zentrums. Mit den Verknüpfungen e ∨ f = e + f − ef, e ∧ f = ef wird A zu einer booleschen Algebra.

Siehe auch Aussagenlogik, Schaltalgebra, logische Funktion.

Ein Homomorphismus zwischen booleschen Algebren A, B ist ein Verbandshomomorphismus f: A -> B, der 0 auf 0 und 1 auf 1 abbildet, d.h. für alle a,b aus A gilt:

• f(a ∨ b) = f(a) ∨ f(b)
• f(a ∧ b) = f(a) ∧ f(b)
• f(0) = 0
• f(1) = 1

Es folgt daraus, dass f(¬a) = ¬f(a) für alle a aus A. Die Klasse aller booleschen Algebren wird mit diesem Homomorphismenbegriff eine Kategorie. Ist ein Homomorphismus f zusätzlich bijektiv, dann heißt f Isomorphismus und A und B heißen isomorph.

Jede boolesche Algebra (A, , ) wird zu einem Ring (A, +, *), indem man definiert: a + b = (a ¬b) (b ¬a) (diese Operation bezeichnet man "symmetrische Differenz" bei Mengen und XOR in der Aussagenlogik) und a * b = a b.

Das Nullelement dieses Ringes entspricht der 0 der booleschen Algebra; das neutrale Element der Multiplikation ist die 1 der booleschen Algebra. Dieser Ring hat das Merkmal, dass a * a = a für alle a in A; Ringe mit dieser Merkmal werden boolesche Ringe genannt.

Umgekehrt, wenn ein boolescher Ring A gegeben ist, können wir ihn in eine boolesche Algebra umwandeln, indem wir definieren: x y = x + y − xy und x y = xy. Da diese zwei Operationen invers zueinander sind, können wir sagen, dass jeder boolesche Ring aus einer booleschen Algebra entsteht, und umgekert. Zusätzlich ist eine Abbildung f : A → B ein Homomorphismus boolescher Algebras, wenn und ca. wenn sie ein Homomorphismus boolescher Ringe ist. Die Kategorien boolescher Ringe und boolescher Algebras sind äquivalent.

Ideale und Filter noch aus dem englischen Artikel zu übersetzen.

Zu jeder endlichen booleschen Algebra B gibt es eine endliche Menge X, so dass B zu P(X) isomorph ist. Insbesondere folgt daraus, dass die Mächtigkeit jeder endlichen booleschen Algebra eine Zweierpotenz ist.

Text über das "Stone Repräsentationstheorem" ist noch aus dem englischen Artikel zu übersetzen.